Uno de dimensiones

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Puedes ver este post, mejorado y con más comentarios

aquí.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El fin de semana pasado, viendo vídeos musicales en casa de un amigo, encontré esta escena en un videoclip de la canción “John the Revelator” de Depeche Mode, hecho por un aficcionado (no es un vídeo del grupo):

Podéis ver el vídeo completo aquí

Una buena aproximación a las tres dimensiones del espacio, desde el punto al espacio tridimensional, pasando por la línea y el plano. Si tomamos como unidad de medida la palabra LIE, la línea mediría 7 unidades, porque tenemos 7 LIEs. Continuando la canción, “multiplicamos por 7” y tenemos, en números, 7×7 o 72, y geométricamente, un cuadrado con 7 LIEs en la base y 7 LIEs de altura. El número de veces que este cuadrado contiene la palabra LIE es, precisamente, 72 (=49), de ahí que a “elevar a 2” se le llame “elevar al cuadrado”.

Volvemos a la canción y “multiplicamos por 7 otra vez”, obteniendo 7x7x7 o, lo que es lo mismo, 73. En el vídeo vemos un cubo de 7 LIEs de largo, 7 LIEs de ancho y 7 LIEs de altura. En total, en el cubo hay 7(=343) LIEs, y por eso, igual que antes, a “elevar a 3” le llamamos “elevar al cubo”.

Volviendo a nuestras unidades, esto nos ayuda a recordar que las longitudes se miden en metros (cm, km, etc), las superficies en metros cuadrados (cm2, km2, etc) y los volúmenes en metros cúbicos (cm3, km3, etc). ¿Qué pasaría si multiplicáramos por 7 de nuevo? Con números no hay problema, tendríamos 74, pero ¿y geométricamente? ¿Cómo representaríamos eso mediante un dibujo? ¿Qué es un km4? Difícil de imaginar, ¿verdad?

La pregunta no es casual, sino que tiene relación con un post que hace tiempo que da vueltas a mi cabeza, en torno a un libro (y dos futuras películas). ¿Adivináis cuál? Será mi próxima entrada, para que no os coma la curiosidad.

Si la actualidad no lo impide, claro.

23 respuestas a Uno de dimensiones

  1. Caulfield dice:

    Supongo que te refieres a Planilandia (Flatland), jejeje. Muy recomendable. También espero la peli.

    Puf, el tema de las dimensiones… me han venido a la mente las supercuerdas y las clases de álgebra lineal xD. Matemáticamente perfecto, pero imaginárselo… demasiado trabajo para nuestros cerebros tridimensionales.

    Saludos.

  2. da-beat dice:

    Jeje, siempre eres el primero en acertar. Te vas a llevar el primer premio. Es “Planilandia” de Edwin A. Abbott, del que están preparando no una, sino dos películas. Mañana hablaré de todo ello.

    Lo de las supercuerdas… también daría para un post de NoSoloMates avanzadas. Hay teorías que funcionan en 11 dimensiones y otras que necesitan 35. Lo que me sorprende es la respuesta de los autores para estas dimensiones que “no están”. Dicen que están “enrrolladas” y que por eso no se ven. En fin… quizá algún día me decida a hablar de eso, pero me parece un poco complicado para las intenciones de este blog.

    Un saludo.

  3. Gabbahead dice:

    A ver si es verdad y las siete mentiras al cubo de John le hacen inclinar la cabeza de vergüenza, porque dudo que semejante personaje tenga idea de lo que son las matemáticas, porque no sabe ni sumar los muertos que tiene a sus espaldas. Por cierto, ya tengo la película que Vd. me recomendó, y esta si es “La Ciencia del Sueño”, la veré esta tarde.

    Un saludo comapñero.

  4. Pues ni idea de que iban a hacer la película. Me interesé hace tiempo por las geometrías n-dimensionales a propósito de la obra de Duchamp. Vaya, da-beat, tienes la habilidad de incitarme a releer y leer cosas nuevas, a ver si la tienes de darme más tiempo.

    Saludos.

  5. da-beat dice:

    Jaja. Lo siento Juanjo, pero tiempo precisamente es lo que no me sobra. La verdadera epidemia: la falta de tiempo (mientras perdemos el tiempo, que ironía) Al final no pude escribir el post hoy, me lié con la crónica…

  6. Simón dice:

    (…)tendríamos 7^4, pero ¿y geométricamente? ¿Cómo representaríamos eso mediante un dibujo? ¿Qué es un km ‘a la cuarta’ ?(…)

    -Representar dimensión 4.
    Pues… lo mismo que representamos el ‘uno’, ‘diez’, ‘cien’, ‘mil’, ‘diez-mil’ etc.

    Tomando una ‘bola’ para el ‘uno’, ( 1 = ‘equis a la cero’);
    una ‘bolsa-alargada-con-x-bolas’ para ‘x’, ( x = ‘equis a la uno’);
    una ‘placa-de-x-bolsas-alargadas-con-x-bolas-cada-bolsa’ para la ‘equis al cuadrado’.
    Podemos seguir con ‘equis-placas-superpuestas’ para el ‘equis-a-la-tres’;
    Ahora pondríamos una fila de ‘x-cubos-de-placas…’ para ‘equis a la cuarta’.

    Ese ‘km a la 4’ podría ser una fila de ‘mil’ kilometros cúbicos.

    Cierto que seguiría siendo un volumen y algo nos dice que ‘volumen’ es poco para una dimensión 4, porque volumen es dimensión 3,
    pero como representación… representaría.

    Saludos irrepresentables
    de Simón

  7. da-beat dice:

    Me ha gustado lo de “como representación… representaría”.

    A ver si he entendido tu propuesta. Se trataría de volver a considerar el “cubo” como una “bola”, de modo que para la dimensión 4 pondrías una fila de cubos, para dimensión 5 una placa de filas de cubos y, para dimensión 6, placas superpuestas que volverían a formar un “cubo” (al que podríamos llamar hipercubo, un cubo de cubos), y vuelta a empezar. Cada cubo de los primeros (los de tres dimensiones) sería un universo tridimensional. No es mala idea.

    Yo siempre me he imaginado la cuarta dimensión por comparación con el círculo y la esfera. Si nos movemos en una dimensión (una línea) que tiene forma de circunferencia, si vamos siempre en la misma dirección llega un momento en que “volvemos” al punto de partida, al dar la vuelta completa. La segunda dimensión es lo que hemos encerrado en esa vuelta, aunque no lo veamos, que es el círculo.
    De la misma forma, si vivimos en Planilandia, pero esta tiene forma de esfera, nosotros, que solo podemos movernos por la superficie, sin mirar arriba ni abajo, si nos movemos siempre en la misma dirección (en cualquier dirección del plano), llegaremos al punto de partida. La tercera dimensión, será lo que hemos encerrado, aunque no lo veamos, que es la esfera.
    Ahora nosotros, que nos movemos en un mundo tridimensional. Si este mundo tiene forma de hiperesfera, al movernos siempre en la misma dirección (en cualquier dirección del espacio), llegaríamos al punto de partida. La cuarta dimensión, que no podríamos ver, sería lo encerrado en esa vuelta. Esto cumple con la “homogeneidad direccional”: las cosas son iguales en cualquier dirección del Universo en la que miremos, al igual que si solo miramos la superficie de la Tierra, es igual en todas direcciones.

    Ya me he vuelto a enrollar… Que gracias por tu comentario.

  8. emmanuel dice:

    No entedí nada. Lo único que quería buscar es el equivalente de 2dm cuadrados a decímetros cubicos, y no lo encuentro. Alguien por favor me lo dice?

  9. da-beat dice:

    Emmanuel, este no es un sitio de teoría, por eso no has encontrado lo que buscas. El equivalente que pides, de dm2 a dm3 no existe. Los Decímetros cúbicos son unidades de volumen (el agua que entra en una piscina, por ejemplo), mientras que los decímetros cuadrados son unidades de superficie (el área de un campo de fútbol, por ejemplo).
    Sí se puede pasar de unidades cuadradas a unidades cuadradas (metros cuadrados a centímetros cuadrados) o de unidades cúbicas a unidades cúbicas (metros cúbicos a centímetros cúbicos), pero no lo que tú pides.

    Si quieres concretar un poco más tu problema, a lo mejor tiene solución.

    Un saludo.

  10. emmanuel dice:

    Bueno, el problema es de química, gases. Tenía que calcular la presión, me daban todos los datos para poder hacer la fórmula y calcular la presión. La fórmula es P(presión)·V(volumen)=n(número de moles o masa del elemento)·R(constante)·t(temperatura)
    La cosa es que no me daban el volumen, si no que me decían que el recipiente era de dm2, pero tampoco especificaban si era rectangular cúbico o cilíndrico

  11. da-beat dice:

    Tienes que hallar el volumen del recipiente. Si te decían que era dm2, es porque te dan el área de la base del recipiente. Seguramente te dan también la altura. El volumen es Area de la Base multiplicado por la altura. Ten cuidado de tener la altura en dm, para que el resultado sean dm3 (ya sabes que un dm3 es un litro).
    (Mira este video:
    http://elblogdejuanjo.wordpress.com/2007/03/01/matematicas-y-hormigon/)
    Espero que ahora lo tengas más claro. Un saludo.

  12. emmanuel dice:

    ese es el problema no me daban ni la altura ni la base ni siquiera especificaban si era cilindrico o rectangular o cuadrado el recipiente lo unico ke decian ke era rigido y eso me sirve para saber ke la presion no varia siempre y cuando no se aumente la tem y la cantidad de masa de los elementos

  13. da-beat dice:

    Ah, ok. Si te decían que era rígido, ya sabes que el volumen no va a cambiar, sea cual sea.

    Como hablas en pasado, supongo que ya está resuelto el problema. Si no te importa, ¿podrías poner aquí el enunciado? Al menos a mi, me ha picado la curiosidad.

  14. emmanuel dice:

    en realidad no lo pude resolver, es un parcial del cbc de la U.B.A(universidad de buenos aires) http://soko.com.ar/CBC/quimica/Qca_pp_01_UBA_XXI.pdf aca dejo el link de donde se encuentra el parcial

  15. da-beat dice:

    ¡Muchas gracias, Emmanuel!
    Leyendo el examen, me parece más un error que otra cosa. Sencillamente, pone dm2 y debería poner dm3, así que la conversión era fácil después de todo: solo hay que quitar el 2 y poner un 3🙂

    Te piden la presión parcial del nitrógeno, que es la presión que existiría en el recipiente si no hubiera dióxido de carbono. Como P·V=n·R·T, solo necesitamos saber el número de moles que suponen los 11,9 gramos. Al ser nitrógeno gaseoso está en moléculas, es decir, un mol son 28 gramos, así que tenemos 11,9/28 = 0′425 moles. Entonces:

    P·2 = 0′425·0′082·290, de donde P=5′05325 atmósferas.

    Sale el resultado del pdf (por cierto, allí pone 5′053 sin unidades, eso es otro fallo), así que se supone que está bien.

    Un saludo.

  16. emmanuel dice:

    el problema se resolverlo, la cosa es que me habia quedado trabado en eso, al no tener el volumen tenia 2 incognitas en el problema la presion parcial y la de volumen, tambien habia poensado lo mismo ke solo era un error de tipeo pero calcule el volumen tomando como dato la presion parcial que ellos dan como resultado o sea 5.053 atm reemplase en la formula despeje el volumen y adivina que me dio 4dm3
    no entiendo por ke 4dm3, tendria ke dar 2 dm3.
    Menos mal que el parcial que tube no fue aprcido a ese si no estaba al horno😄, me faltaron 2 ejercicios para terminar el aprcial que me tomaron la semana pasada🙂, dios que nervios mañana me dan la nota

  17. da-beat dice:

    Si, partiendo de la solución, calculaste el volumen y te dio 4 atm, es porque tomaste 1 mol = 14 gramos de Nitrógeno, es decir, tomaste un mol de átomos, en vez de un mol de moléculas. Como es Nitrógeno gaseoso, N2, 1 mol son 28 gramos, en vez de 14.

    Infórmanos de la nota. ¡Mucha suerte!

  18. Caulfield dice:

    jajaja, qué recuerdos a las clases de “Física y Química”; mi profesor nos ponía un 0 en el ejercicio si nos dejábamos las unidades (aunque el valor del resultado fuera correcto). Pero supongo que era la única forma de comenzar a coger la costumbre en especificarlo todo.

    Saludos.

  19. da-beat dice:

    Ya ves, Caulfield, a nosotros nos ponían un cero si no poníamos las unidades (yo no recuerdo un 0, pero sí era un “fallo gordo”) y ahora en las preguntas de los exámenes vienen mal o no vienen. El error se perdona porque es tipográfico (un 2 en lugar de un 3), pero la falta de unidades es intencionada, porque falta en casi todas las soluciones. En fin.

  20. emmanuel dice:

    A propósito del problema, lo hice como te había dicho, tomando el dato de presión parcial del n(g) y me dio el volumen 2dm3, o sea fue un error de tipeo en el enunciado, y un error mío cuando quise calcular el volumen y no tomé en cuenta la molécula, sino el átomo, gracias por la ayuda.

    P.D: me saqué un 4 en el 1º parcial :S, ahora en el 2º parcial tengo ke sacarme mas de 4 para ir a final y un 10 para promocionar (aprobar directo)

  21. Jordiel dice:

    Viene de AQUÍ.

    Tu fórmula es correcta como también lo es n·(n+1/2)·(n+1)/3 y esto se podría interpretar como la 3ª parte de un prisma recto de base rectangular de dimensiones n, (n+1/2) y (n+1); en definitiva, de un volumen.

    Si no lo ves (como me ocurrió en su momento) prueba a hacer un ejercicio de manualidades: tres pirámides oblicuas de base cuadrada, cuyo vértices se encuentren perpendicularmente al plano de la base por encima de uno de los vértices de la base. Si intentas juntarlos te sale un cubo de lado x (el que quieras).

    Esta experiencia explica en cierto modo la integral de la función f(x)=x^2; F(x)=(x^3)/3, justamente la 3ª parte de un cubo de lado x. Claro que f(x) responde a una parábola pero si expresamos la función f(y)=x; f(z)=x en un sistema de tres ejes XYZ, la integral de la suma de las integrales F[F(y)+F(z)]=(x^3)/3, la tercera parte de la pirámide. No sé si me explico.

    En el anterior caso, la pirámide es escalonada y es más complicado verlo cómo pueden encajar tres pirámides escalonadas, tienes que ayudarte de la fórmula para poder verlo.

    Después de todas estas deducciones, para el sumatorio de volúmenes, su fórmula [n^2·(n+1)^2]/4 podría referirse a la 4ª parte de una pieza 4D por analogía en la demostración de los problemas anteriores de sumatorios.

    ¿Tú qué crees? ¿Sería posible ver la 4ª dimensión? Tiene que haber alguna forma.

  22. Jordiel dice:

    Creo que hay errores y no sé si será correcto lo que quiero explicar en el tercer párrafo: cuando digo f(y)=x quiero decir y=x que es la ecuación de una recta; lo mismo para f(z). Estas dos rectas forman en el espacio la ecuación de la recta en forma continua r:x=y=z. Si queremos conocer la suma de todos los valores y·z, es decir, el volumen de la pirámide, es equivalente a hacer la integral de f(x)=x^2, el resultado es el mismo, (x^3)/3.

  23. da-beat dice:

    Jordiel, muy interesante tu aportación. Se ha entendido tu tercer párrafo: f(x)=x^2 es una parábola en un plano. Tú estás hablando del espacio de tres dimensiones y de una suma de infinitos valores (el sentido original de integral). Es la misma operación para las dos interpetaciones.

    En cuanto a lo que yo creo, ya te contesté que, en la teoría, es un razonamiento perfectamente válido. En la práctica queda verlo. Y no se si, como dices, tiene que haber alguna forma de ver la cuarta dimensión. Sí creo que hay formas de “imaginarla” y esta puede ser una de ellas. Otra podría ser la que comento Simón un poco más arriba. Tu razonamiento con formulas y dimensiones, es análogo al mío de ir “subiendo” de la línea al círculo y del círculo a la esfera. En el siguiente salto, de la esfera a ¿? tendríamos la cuarta dimensión.

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