Uno de dimensiones

30 abril, 2007

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El fin de semana pasado, viendo vídeos musicales en casa de un amigo, encontré esta escena en un videoclip de la canción “John the Revelator” de Depeche Mode, hecho por un aficcionado (no es un vídeo del grupo):

Podéis ver el vídeo completo aquí

Una buena aproximación a las tres dimensiones del espacio, desde el punto al espacio tridimensional, pasando por la línea y el plano. Si tomamos como unidad de medida la palabra LIE, la línea mediría 7 unidades, porque tenemos 7 LIEs. Continuando la canción, “multiplicamos por 7” y tenemos, en números, 7×7 o 72, y geométricamente, un cuadrado con 7 LIEs en la base y 7 LIEs de altura. El número de veces que este cuadrado contiene la palabra LIE es, precisamente, 72 (=49), de ahí que a “elevar a 2” se le llame “elevar al cuadrado”.

Volvemos a la canción y “multiplicamos por 7 otra vez”, obteniendo 7x7x7 o, lo que es lo mismo, 73. En el vídeo vemos un cubo de 7 LIEs de largo, 7 LIEs de ancho y 7 LIEs de altura. En total, en el cubo hay 7(=343) LIEs, y por eso, igual que antes, a “elevar a 3” le llamamos “elevar al cubo”.

Volviendo a nuestras unidades, esto nos ayuda a recordar que las longitudes se miden en metros (cm, km, etc), las superficies en metros cuadrados (cm2, km2, etc) y los volúmenes en metros cúbicos (cm3, km3, etc). ¿Qué pasaría si multiplicáramos por 7 de nuevo? Con números no hay problema, tendríamos 74, pero ¿y geométricamente? ¿Cómo representaríamos eso mediante un dibujo? ¿Qué es un km4? Difícil de imaginar, ¿verdad?

La pregunta no es casual, sino que tiene relación con un post que hace tiempo que da vueltas a mi cabeza, en torno a un libro (y dos futuras películas). ¿Adivináis cuál? Será mi próxima entrada, para que no os coma la curiosidad.

Si la actualidad no lo impide, claro.


El más votado

26 abril, 2007

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El fin de semana pasado, en Francia, tuvieron la primera vuelta de las elecciones presidenciales. Por este motivo, adapto al blog esta entrada sobre sistemas de votación que ya escribí con ocasión de Madrid 2012 y sus Olimpiadas. Veremos cómo el sistema de votación es muy importante para obtener un ganador, hasta el punto de que, en ocasiones, cualquier candidato puede ganar dependiendo de la forma de votar elegida.

Vamos a suponer 5 candidatos (Por orden alfabético, Ana, Beatriz, Carlos, Daniel y Elena) y 15 votantes, cuyos órdenes de preferencia son los siguientes:

7 prefieren:   Ana Elena Beatriz   Carlos Daniel
3 prefieren: Beatriz   Elena Daniel Ana Carlos   
2 prefieren: Carlos Elena Daniel Beatriz   Ana
2 prefieren: Daniel Beatriz Carlos Ana Elena
1 prefiere: Elena Daniel Beatriz Ana Carlos

Según el sistema utilizado en España, no tendríamos dudas de que la ganadora sería ANA, con 7 votos, seguido de Beatriz con 3, Carlos y Daniel con 2 votos cada uno y, en último lugar, Elena con 1 voto, ya que cada votante solo puede elegir un candidato y votarán a su preferido.

Ahora bien, el sistema de votación utilizado para elegir sede de las Olimpiadas consiste en lo siguiente: Para salir un ganador tiene que tener mayoría absoluta (la mitad más uno) y, en caso de que no ocurra, se elimina el candidato menos votado y se repite la votación. De nuevo, si alguno obtiene mayoría absoluta, es el ganador y si no, se elimina el menos votado, etc. Este proceso tiene un fin, ya que, en el peor de los casos, se irían eliminando candidatos hasta que quedaran dos, y en esta votación el ganador lo hará por mayoría (Suponiendo, claro está, que el número de votantes sea impar. En caso contrario podría haber empate).
Con este sistema y las preferencias anteriores obtendríamos, en la primera votación:

Ana 7 votos
Beatriz   3 votos
Carlos 2 votos
Daniel 2 votos
Elena 1 voto

No hay ganador, ya que se necesitan 8 votos, de modo que se elimina el que menos votos tiene (Elena) y se repite la votación. Con el orden de preferencia de los votantes, es fácil ver que en la segunda ronda los resultados serán:

Ana 7 votos
Beatriz   3 votos
Daniel 3 votos
Carlos 2 votos

(ya que el tipo que votó a Elena prefería en segundo lugar a Daniel). De nuevo no hay ganador y se elimina un candidato, en este caso Carlos. Volvemos a votar y obtenemos:

Ana 7 votos
Daniel 5 votos
Beatriz   3 votos

(ya que los dos que votaban a Carlos también tenían a Daniel como segunda opción, porque Elena ya estaba eliminada) Seguimos sin ganador, pero eliminamos a Beatriz, de modo que quedan Ana y Daniel. En la última votación, como podéis comprobar, gana DANIEL por 8 a 7, obteniendo los 8 votos necesarios y proclamándose vencedor a todos los efectos, a pesar de que solo dos miembros apostaban por él y había 7 que lo consideraban el peor de los 5.

El sistema de votación para las presidenciales de Francia del fin de semana sigue otro método: Se hacen dos vueltas. La primera es eliminatoria, en la que solo quedan los dos candidatos más votados y en la segunda, se elige uno de esos dos. Volvemos a nuestra tabla de preferencias y vemos que en la primera vuelta quedan Ana y Beatriz. En la segunda vuelta, votando solo entre ellas dos, los resultados son:

Beatriz   8 votos
Ana 7 votos

Ahora ha ganado BEATRIZ, ya que 8 personas la prefieren antes que a Ana. Y, por último, voy a incluir el sistema de votación de Eurovisión, en el que cada votante da puntos a sus preferidos. En este caso, cada votante daría 5 puntos a su preferido, 4 al segundo, 3 al siguiente, 2 después y 1 punto al que crean el peor de los cinco. Si hacéis las cuentas saldrían los siguientes resultados:

Ana 49 puntos
Beatriz   51 puntos
Carlos 34 puntos
Daniel 36 puntos
Elena 55 puntos

Vemos que entonces ganaría ELENA quedando Beatriz segunda, Ana tercera y Daniel en cuarto lugar. Ya solo falta encontrar un sistema de votación por el que ganara Carlos, que seguro que lo hay, con lo que tendríamos que cualquiera de los cinco puede ganar dependiendo del sistema de votación utilizado. Curioso, ¿verdad?


¿Cuándo es el Día del Libro?

24 abril, 2007

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Ayer fue el Día del Libro  pero como aquí en Castilla y León también es el Día de la Comunidad, no hubo clase. Esto hizo que a) no pudiera celebrarlo en clase y b) me fuera de “minivacaciones” (daré cuenta de ellas en una Crónica), no escribiendo el post correspondiente. De todas formas, como lo que pienso siempre que llega cualquier “Día de” es que el verdadero “Día de” deberían ser Todos Los Demás, no voy a recomendar hoy ningún libro. Lo haré como hasta ahora, cuando me apetezca, sin tener que mirar la fecha del calendario. Y es que cualquier día es bueno para recomendar, leer o regalar un libro.

Además, como la “celebración” del Día del Libro parece consistir en regalar un libro (en realidad “comprar” un libro), está bastante claro que se trata de una simple operación comercial que no aporta nada al hecho de que los jóvenes (y los no tan jóvenes) aprecien el placer de la lectura, que es precisamente lo que este blog busca. De modo que, en vez de hacer una recomendación literaria, el día de ayer lo voy a utilizar para hablar de los calendarios y las fechas.

Como muchos de vosotros sabréis, el Día del Libro se celebra el 23 de Abril porque en esa fecha murieron los dos escritores “más grandes” de la literatura castellana (Cervantes) e inglesa (Shakespeare). No solo murieron los dos un 23 de Abril, sino que además los dos murieron el mismo año, 1616. Aún así, hago bien al decir “la misma fecha”, porque, aunque ambos murieron el 23 de Abril de 1616, no murieron el mismo día. En realidad, Shakespeare murió 11 días después de Cervantes.

Esto se debe a que, por aquellos años, en España ya se utilizaba el calendario Gregoriano (establecido por el Papa Gregorio XIII en 1582) y en Inglaterra todavía usaban el calendario Juliano (no adoptaron el gregoriano hasta 1752). La diferencia entre esos dos calendarios era precisamente de 11 días.

¿Por qué este cambio de calendarios? Se debe a que lo que entendemos por año es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Sabemos que es 365 días pero, en realidad son 365’25 (más exactamente 365’242189). Es el mismo motivo de que actualmente tengamos los años bisiestos. Cada 4 años metemos un día más en el calendario para corregir ese 0’25. Como desde los romanos no se había hecho esta corrección, el error se había ido acumulando, por lo que los equinoccios (cuando el día dura lo mismo que la noche, el 21 de marzo y el 23 de Septiembre) y los solsticios (saltándonos los formalismos, cuando el Sol esta más alto en el cielo o más bajo, el 21 de junio y el 21 de diciembre. En el Hemisferio Sur al revés) no ocurrían cuando deberían ocurrir, sino 11 días después (por ejemplo, el equinoccio de primavera, en vez de ser el 21 de marzo, ocurría el 1 de abril). Esto llevó al Papa Gregorio XIII a hacer la corrección del calendario y a introducir los años bisiestos para que el error no se volviera a acumular.

Hoy día sabemos que, como tampoco es 365’25, sino 365’242189…, introduciendo un día extra cada 4 años nos pasaríamos un poco. Por eso, los años terminados en 00, que deberían ser bisiestos, no lo son (1700, 1800, 1900, etc). Pero, según esto, el año 2000 no debería ser bisiesto y lo fue. Eso es porque, como nos obsesionamos con la precisión, si quitamos esos años bisiestos nos volveríamos a quedar cortos, de modo que, cada 400 años, el año acabado en 00 que no debería ser bisiesto según la última regla, sí lo es. Y ese año le tocó al 2000. El año 2100 no será bisiesto y 1900 tampoco lo fue, pero 2400 (si llegamos) sí lo será.

En resumen, que cada 4 años ponemos un año bisiesto, cada 100 años quitamos uno de esos años bisiestos, y cada 400 años nos saltamos la regla de los 100 años. Seguramente eso todavía necesite alguna corrección cada 1000 o 2000 años, pero no me la sé y ya no me parece demasiado importante. Sí he oído algo de que hace pocos años (no sé si en el 2000) en Nochevieja adelantaron un segundo los relojes para controlar esta imprecisión, pero a mi me gusta ser curioso sin caer en la obsesión. En cualquier caso, siempre tenéis Google si queréis informaros más.

Un dato menos conocido y más interesante es el hecho de que el escritor peruano Inca Garcilaso de la Vega (no confundir con el español Garcilaso de la Vega), también murió el 23 de abril de 1616. Y esto es lo que os voy a dejar como trabajo de investigación: ¿Murió Inca Garcilaso el mismo día que William o el mismo día que Miguel?


Multiplicaciones (II): Método Egipcio

17 abril, 2007

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Continuamos nuestro tour particular por los métodos utilizados a lo largo de la Historia y de los pueblos para multiplicar. Hoy nos toca el método egipcio:

Al igual que los rusos, los egipcios tampoco tenían necesidad de saberse las tablas de multiplicar, ya que su método se basa solo en sumas. Aunque visualmente es similar al método ruso, estratégicamente es mucho más sencillo y mucho más práctico. Comenzamos, como siempre con un ejemplo sencillo: 24×12.

Para realizar la multiplicación, escriben dos columnas. Una comienza con 24 y la otra con 1. El proceso consiste en ir doblando el número de cada columna hasta que la que comenzó con 1, supere al segundo factor:

24 1
48 2
96 4
192 8

No es necesario hacer más filas porque 8+8=16 ya es mayor que 12. Buscamos ahora en la segunda columna los números que, sumados, den el segundo factor. En este caso son el 8 y el 4 (8+4=12). Sumando los números correspondientes de la primera columna (192 y 96) obtenemos el resultado de la multiplicación: 192+96 = 24×12 = 288.

Vemos ya las dos ventajas que tiene frente al algoritmo ruso. En primer lugar no hay que “hacer mitades”, solo doblar, para lo que no es necesario multiplicar por dos, sino sumar (96+96=192, por ejemplo). En segundo lugar, no es necesario hacer otra tabla para multiplicar 24 por otro número. Por ejemplo, para 24×9, buscamos los números que suman 9, que son 8 y 1, por lo que el resultado será 192+24 = 216. Si queremos multiplicar 24×21, añadiríamos otra fila más y listo:

—>

24

 

1

 

48

 

2

—>

96

 

4

 

192

 

8

—>

384

 

16

384

96

+ 24

———

504

Por lo tanto, 24×21 son 504.

Y, como siempre, el último ejemplo, para aclarar las ideas: 115×23

—>

115

 

1

—>

230

 

2

—>

460

 

4

 

920

 

8

—>

1840

 

16

1840

460

230

+ 115

———

2645


Café a través del espejo

13 abril, 2007

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Lo primero es cumplir lo prometido: vemos el vídeo. Es el capítulo “Arriba y Abajo” de Camera Café:

Las buenas críticas recibidas por este programa no son casualidad. Con un único escenario y una sola camara, el peso del programa está en los guiones y en la imaginación. Imaginación para suplir esa falta de medios. En el caso concreto del vídeo anterior, vemos como han hecho uso de esa imaginación para simular dos oficinas diferentes, que en realidad son la misma. En vez de cambiar el decorado, el simple hecho de cambiar las plantas y, después, voltear la imagen, nos da el aspecto de otra oficina.

Yo, aprovechándome también de la informática (el Photoshop en este caso) he borrado a los personajes para dejar las dos oficinas solas, que tenéis aquí:

Pica para ampliar

Vemos en estas dos fotos la simetría entre las “dos” oficinas. Se llama simetría respecto a un eje, o simetría axial. Es como ver las cosas en un espejo. En matemáticas, se dice que la simetría es un movimiento inverso, que significa que los objetos, al aplicarles la simetría, no son exactamente iguales, sino que se ven “al revés”. La derecha y la izquierda se invierten.

Tampoco esto les ha dado problemas. Si volvemos a ver el vídeo, nos fijamos en que, cuando están en la oficina de arriba, siguen haciendo las cosas igual: El botón de la máquina de café esta a la izquierda de la pantalla, meten dinero con la mano derecha… aunque los actores, cuando rodaron la escena, tuvieron que hacerlo al revés. Se ve que han cuidado mucho los detalles.

En la última escena, vemos a Cañizares, que abre un cuaderno por la última página, para que a nosotros nos parezca que es la primera y se pone a escribir con la mano izquierda, que nosotros pensamos que es la derecha, pero… parece que hay algo raro, ¿no? Os dejo a vosotros que lo descubráis y lo pongáis en los comentarios. A ver quien es el primero.

Y es que no es fácil actuar “al revés”. Podéis intentarlo delante de un espejo. Intentad que vuestra imagen reflejada actúe normal (vosotros tendréis que hacer las cosas al revés). Se recomienda no hacerlo más de 3 minutos seguidos: Es el tiempo límite en que uno empieza a pensar que está haciendo el tonto delante de un espejo. Suerte.

NOTA: El título del post hace referencia al libro “Alicia a través del espejo”, de Lewis Carrol, en el que Alicia atraviesa un espejo y se encuentra en un mundo donde lo que entendemos por derecha e izquierda, se ha invertido. (Imaginad que un día os levantáis y la ventana está al otro lado. Al salir de la habitación, el baño no está “al fondo a la derecha”, sino “al fondo a la izquierda” y, al salir a la calle, el instituto y todas las cosas están al lado contrario del que estáis acostumbrados. Sería un caos, ¿verdad?) Si os pica la curiosidad, tendréis que leerlo, porque yo no voy a contar nada más. Es una lectura super recomendada.


¿Qué es una encuesta sesgada?

11 abril, 2007

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De nuevo un post derivado de la prensa. Prometo que el siguiente será un vídeo (bueno, no lo prometo, nunca se sabe lo que uno puede encontrar en la prensa de mañana. Pero en principio será un vídeo).

El de hoy viene de la portada del Marca, donde encontramos esto:

liga.jpg

4º de E.S.O. Estadística Básica. Tema 1. Al principio del todo. “Para que una encuesta sea fiable, la muestra debe ser representativa de la población, esto es, debe ser elegida al azar.[…] No importa tanto la magnitud de las muestra como la calidad. Una encuesta que utilice una muestra representativa de 100 personas es más fiable que una utilice una muestra sesgada de 100.000.”

Eso, que es lo primero que se estudia en estadística, se lo pasan por el forro los del Marca (y el 90% de la prensa, todo hay que decirlo), no por anumerismo del redactor precisamente, sino que lo hacen conscientemente para aprovecharse del anumerismo de los lectores (y contribuyendo a aumentarlo). Dar el dato “entre más de 100.000 internautas” como sinónimo de calidad de la encuesta es, sencillamente, un elemento manipulador. Y es que apostaría que, después de haber leído los resultados de la encuesta, muchos lectores que a) no votaron en ella o b) votaron que no, han cambiado su respuesta y ese 46% ha aumentado considerablemente.

Pero vamos al tema. El titular realmente es: “El Real Madrid, máximo favorito de los madridistas para ganar la Liga”, dado que el perfil del lector del Marca, no es que sea demasiado imparcial, la verdad. Esa parte que se olvidaron, y que yo he puesto en negrita, es fundamental para un lector que haya llegado a la noticia de casualidad.

Mención aparte merece la frase “Hoy llega a un 46% entre más de 100.000 internautas”, que en el interior se agrava, conviertiéndose en:

liga2.jpg            En realidad, dice “El 46% de internautas-que-leen-marca.es-y-que-votaron-en-la-encuesta cree que ganará la Liga”. Cambiar toda esa expresión por internautas a secas, es suponer que todos los internautas leen marca.es y eso, o son delirios de grandeza, o es mucho suponer.

En mis clases de E.S.O., suelo abordar este problema diciéndoles a los alumnos “No puedes hacer una estadística sobre la altura media de los españoles si vas a tomar datos a una guardería, por muchos que tomes”, o bien “No puedes hacer un estudio sobre los gustos musicales si vas a preguntar a un concierto de David Bisbal”.

Es posible que me lleve esta portada y lo cambie por “No puedes hacer una estadística sobre el favorito a ganar la Liga si tomas los datos entre los lectores del Marca”.

Suerte que es una encuesta sobre “creencias” y el ganador de la Liga no tiene nada que ver con los resultados de la encuesta (Se puede hacer una encuesta “¿Quien crees que ganará el partido A-B?”, obtener un resultado del 100% a favor de A y que el partido lo gane B. Eso no significa que la encuesta fuera mala).

Ahora os dejo la reflexión: cambiad “Real Madrid” por las siglas de cualquier partido político y “Marca” por el periódico afín a ese partido. ¿A que la portada resultante os resulta familiar? Pues en ese caso los resultados de la encuesta sí influyen en los resultados reales. Por eso, cuando oigáis “A pesar de que las encuestas daban como favorito a X, ha ganado Y” no significa que las encuestas no sirvan. Significa que debemos estudiar estadística para que no nos tomen el pelo.


Posible discriminación de los huevos

9 abril, 2007

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Vale que sea Lunes. Vale que sea después de vacaciones. Vale que trabajen de noche. Vale que la noticia sea de relleno. Pero no creo que todo eso les de permiso a tener tantos errores en la misma página. Me refiero a la siguiente noticia, aparecida hoy en “El País“:

Pica para ampliar

1º) No sé si es un error, pero dice:

A grandes rasgos, antes comprábamos alimentos básicos y frescos, y ahora consumimos “alimentos de mayor calidad y con mayor valor añadido.

Supongo que el valor añadido es que las naranjas tengan más vitamina C que las naranjas y la leche más calcio que la leche (y más vitamina C que las naranjas), pero permitidme que dude lo de mayor calidad.

2º) Vamos con los números: En la tabla, tenemos el Consumo de Alimentos en Kilos/litros por habitante y año. Por ejemplo, en 1986 cada habitante consumía 127’2 litros de leche y en 2006 solo 98’1, es decir, 29’1 litros menos (por eso tiene un signo menos delante), que es lo que marca la columna “Diferencia”. En cambio, en el texto nos dan estas diferencias en tantos por ciento (casi un 30%) y dice que los derivados lácteos han crecido un 18’5%, cuando en realidad ha sido un aumento de 18’5 Kilos por habitante y año. Y así con todos los datos que vienen en el texto, todos en %, cuando son datos absolutos.

3º) Hace solo unos días puse la foto de un gráfico de la serie “Los Hombres De Paco” en el que los porcentajes sumaban más del 100%.
Fijáos en el gráfico de “El País”: los datos de 1986 suman el 100%, ¡correcto!, pero los de 2006 se quedan en el 94%. ¿Han aparecido lugares de compra nuevos y es allí donde se realizan el 6% de las compras restantes? ¿Por qué estos lugares no se incluyen en la categoría “otros”?
   compra.jpg

4º) Solo una curiosidad:
huevos.jpg
¿Por qué no se cuenta el consumo de huevos? Es como hacer un estudio de animales de compañía sin contar los loros, o estadísticas de frutos secos sin contar los cacahuetes. ¿Qué sentido tiene? Si alguien lo sabe, por favor, responda en los comentarios.