Fotocopias

21 octubre, 2007

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Por lo que veo, este fin de semana prácticamente todo el mundo está pendiente de Brasil. Yo, que sigo sin entender muy bien cómo es posible que personas que nunca habían visto la Fórmula-1 sean ahora aficcionados apasionados de este “deporte”, tengo que compaginar dos necesidades de las que los psicólogos llaman básicas o elementales. Por un lado, la de “seguir siendo yo mismo” y por otro, la de “pertenecer a un grupo”. Al final he optado por ver una película brasileña que, casualmente, en su carátula pone: “La vida es original… El resto es copia“. Y ha sido una gran sorpresa, así que la recomiendo.

O HOMEM QUE COPIAVA EL HOMBRE QUE COPIABA

Director: Jorge Furtado

Intérpretes:
Lázaro Ramos, Leandra Leal,
Luana Piovani, Pedro Cardoso

Nacionalidad: Brasileña.

Año: 2003.

Duración: 124 minutos.

Os presento a André, un “operador de fotocopiadora” que busca una vida mejor:

Ese es el comienzo. La historia da tantos giros inesperados que es complicado hablar de la trama sin desvelar nada, así que vamos directamente a lo nuestro. Mirad esta escena:

He ahí una de las creencias más extendidas acerca de los juegos de azar, que unas combinaciones son más probables que otras, cuando en realidad son igual. Normalmente se aplica a las combinaciones con algún tipo de orden, como las dos citadas en el vídeo, pero también a otras como 1-2-4-8-16-32 (las potencias de 2), 8-16-24-32-40-48 (los múltiplos de 8 ) o 1-2-3-47-48-49 (los 3 primeros y los 3 últimos). Intuitivamente, uno piensa que ya es casualidad que, entre tantas combinaciones posibles, vayan a salir los 6 primeros números, aunque sería la misma casualidad que si salieran “mis números”.

Uno puede mirar las estadísticas de los números premiados en la Primitiva y afianzar su engaño, porque es cierto que nunca han salido los 6 primeros, pero también es cierto que nunca han salido las combinaciones de muchísimas personas que, semana tras semana, juegan a los mismos números. Por supuesto, es más probable que salga una combinación “desordenada” a que salga una “ordenada”, pero el motivo es simplemente que hay muchísimas más de ese tipo. Ahora bien, si elegimos solo una combinación desordenada, ya no hay quien la haga salir 🙂

Imaginad (o coged) una baraja de 40 cartas. Barajadla. Si tomamos una carta cualquiera sin mirarla, es mucho más probable que “no sea el As de Oros” a que “sea el As de Oros”, sencillamente porque hay 39 cartas que no son el As de Oros y solo una que sí lo es. Ahora bien, si de esas 39 cartas cualesquiera, pensamos solo en una (por ejemplo, el 6 de copas), las probabilidades que tiene son las mismas que las que tiene el As de Oros.

Efectivamente, si nos vamos a las estadísticas por números, todos ellos salen aproximadamente las mismas veces (en torno a 250 cada uno, 278 el que más y 219 el que menos). Si me dejaran amañar dos sorteos de la Primitiva, las combinaciones que elegiría serían, en uno 1-2-3-4-5-6, y en el otro 4-8-15-16-23-42. Imagino que en el primero no habría ningún acertante (es posible que no hubiera ninguno ni siquiera con 4 aciertos), mientras que el segundo podría batir el record de ganadores de 6 (Me gustaría saber cuánta gente juega con los “números de Lost“, pero supongo que mucha)


Experimento

18 octubre, 2007

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Uno de los próximos post tratará sobre el tema de la manipulación de la información por parte de los medios (eso que unos dicen que no existe y otros pensamos que es inevitable). Antes de escribirlo, y para ponernos en situación, voy a hacer en este blog el mismo experimento que hago en clase cuando surge el tema. Creo que lo más importante es la diferencia entre engañar y mentir. No es necesario mentir para engañar, se puede engañar diciendo la verdad, que es lo que hacen los medios.

El experimento es sencillo, solo tenéis que dar vuestra opinión sobre el siguiente hecho (verídico, como he dicho):

 El programa de TV más visto el día 11 de Septiembre de 2001 fué el partido de fútbol de La2

(En España, claro) ¿Qué opináis al respecto? Muchos alumnos me dicen que eso no puede ser. Repito que la noticia es cierta.


Utilidades de Medida

7 septiembre, 2007

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Este verano han llegado a este blog dos memes, uno como blog que hace pensar y otro como blog solidario. Aunque ya he dicho que no sé muy bien qué significan, uno se alegra de que otra persona piense en ti a la hora de otorgar un premio, y ayuda a continuar con el trabajo, manteniendo la ilusión del primer día. Ayer recibí otra alegría de este tipo, en este caso porque el blog ha resultado útil, aunque ha venido sin meme.

Resulta que en el programa “¿Sabes más que un niño de Primaria?” de Antena-3, en la categoría Medidas de 4º, le hicieron a la concursante la siguiente pregunta: ¿Qué sistema se estableció en Francia en 1795 para unificar las unidades de medida? La concursante se jugaba 50000€ y creo que eso influyó a la hora de plantarse, si hubiera sido una de las primeras preguntas estoy seguro de que la hubiera acertado. El caso es que, mientras la concursante se decidía entre arriesgarse o no, en este blog ocurría esto:

stats1.jpg

¿A qué se debe ese subidón? Pues a personas que estaban viendo la tele y, mientras la concursante se decidía, se fueron a Google y buscaron:

stats2.gif

Google daba en primer lugar este blog y en él se hallaba la respuesta correcta: el Sistema Métrico Decimal. Así que, aquel post dedicado a las manifestaciones ascendió hasta la cima:

stats3.gif

dándoles a unas cuantas personas la oportunidad de conocer una respuesta que iban a conocer en menos de dos minutos por medio del presentador. Pero no es lo mismo. En esos dos minutos, pudieron decirle a la tele: “¡El Sistema Métrico Decimal! ¡No te plantes, que es fácil! ¡No seas tonta, el Sistema Métrico Decimal! ¡Dilo, dilo!” como si la concursante pudiera oírlos.

Tienen gracia algunos comportamientos humanos. Y yo me alegro de haber sido útil.


Una de dos: o sí o no

17 junio, 2007

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Un título un poco críptico para este post. No es en absoluto casualidad, como podréis comprobar en los próximos días. El título se refiere a las posibilidades que tengo de acertar los 6 números de la primitiva, que son del 50%: o me toca o no me toca.  A raíz de un comentario de Juanjo, hace ya algún tiempo que prometí hablar de esta falacia (gran chiste para los matemáticos) y me la he encontrado esta mañana en la portada del Sport.

sport.jpg

Aunque no han sido tan brutos como para decir que las probabilidades de que el Barcelona gane la liga son del 50% (o la gana o la pierde), han incurrido en la misma falacia. Veamos: El error al decir que me puede tocar la primitiva o no al 50% está en suponer que los dos casos son equiprobables, cuando en realidad solo hay una forma de que me toque (salen mis 6 números), pero hay algo así como 13.983.815 formas de que no me toque (sale cualquier otra combinación).

Simplifiquemos para verlo más claro: Si decimos que la probabilidad de que al tirar un dado salga un 1 es del 50%, estamos olvidando que solo hay una forma de acertar (sale un 1), pero hay 5 formas de no acertar (sale 2, 3, 4, 5 o 6), por lo que los sucesos “salir 1” y “no salir 1” no son equiprobables.

Volvemos al Sport. Según ellos, las probabilidades de que gane el Barcelona son del 33%, las del Real Madrid del 59% y las del Sevilla, del 7% (no os preocupe que entre los tres sólo sumen el 99%: no hay ningún otro equipo que pueda ganarla, es solo que se han comido los decimales). ¿De dónde obtienen estos resultados? Fácil: haciendo una tabla  con “todos” los casos posibles, a saberse: que gane el Madrid, gane el Barcelona y gane el Sevilla; que ganen el Madrid y el Barcelona y empate el Sevilla, etc… Imagino que habéis pillado la idea. Se obtiene la siguiente tabla, cortesía del diario As (que, por cierto, cae en el mismo error, pero se cuida mucho de no hablar de probabilidades, así que es correcto):

as.jpg     Hay 27 casos posibles, de los cuales el Real Madrid ganaría en 16, el Barcelona en 9 y el Sevilla en 2. De ahí las posibilidades de las que habla el Sport. Ahora bien, eso sería correcto en el caso de que esas 27 opciones fueran equiprobables, de modo que la pregunta es: ¿Es igual de probable el caso 1-2-1 (ganan los tres candidatos) que el X-X-X (empatan los tres)?
Y no lo digo porque suponga que el Madrid, el Barcelona o el Sevilla son mejores que sus rivales y sea más probable que ganen a que empaten, me limito a las matemáticas.

El fútbol consiste en meter una esfera (o balón) por un hueco rectangular (portería). Para ello contamos con 11 personas. Este hecho sería fácil (para ellos) y aburrido (para los espectadores) si no fuese por que tenemos a otras 11 personas que tratan de impedirlo (el otro equipo). Esas otras 11 personas son las que convierten un sencillo problema de geometría en una difícil hazaña: Meter un gol no es fácil (o no debe serlo, según deducimos por su escasez, pocas veces se pasa de 10 en hora y media). Entonces, ¿es igual de probable un empate que un 1 o un 2?

Analicemos el número de goles:
– Si en el partido no hay goles, los sucesos 1-X-2 no son igual de probables, de hecho es casi seguro que acabe en empate.
– Si en el partido hay 1 gol, el resultado puede ser 1-0 o 0-1, es decir, un 1 o un 2, pero es imposible una X.
– Con 2 goles, tenemos como posibilidades 2-0 (un 1), 1-1 (una X) o 0-2 (un 2). En este caso sí son igual de probables.
– Con 3 goles, puede ocurrir 3-0 (1), 2-1 (1), 1-2 (2) o 0-3 (2). De nuevo no hay posibilidad de empate.
– Con 4 goles, tenemos 4-0 y 3-1 para un 1, 2-2 para una X y 1-3 y 0-4 para un 2.

Si continuamos, vemos que el empate solo puede ocurrir cuando el número de goles es par y, en esos casos, es menos probable que el 1 o el 2, porque solo se puede empatar de una forma, pero se puede ganar (o perder) de varias.

Por lo tanto, la combinación X-X-X no es igual de probable que la 1-1-1, por ejemplo. Repito que esto es sólo matemáticamente, sin tener en cuenta que unos equipos sean mejores que otros y que, en consecuencia, sea más probable que ganen a que pierdan. Si tenemos en cuenta eso, el análisis matemático de probabilidades se hace imposible. De modo que, aunque hoy “puede ocurrir cualquier cosa”, no es fácil hablar de porcentajes ni de probabilidades numéricas. Que gane el mejor, o el menos malo.

PD: por si alguién quiere conocer mi opinión, os diré que no me gusta el fútbol, pero este año me he interesado por los resultados porque, cuando quedaban 14 partidos, haciendo un análisis matemático de la situación (que incluía factores psicológicos), un par de rectas y unas gráficas, y asumiendo un error de Tipo I, dije (aseguré) que iba a ganar la liga el Real Madrid. Podéis imaginar las risas y las burlas en aquel entonces (sin problema, porque solo se lo decía a gente conocida). Con el tiempo, pasaron a decir “puede ser” y hoy me decían que “puede ser que no”. Ellos saben perfectamente que ni me gusta ni entiendo de fútbol, y siempre les he dicho que mi pronostico era matemático, no futbolístico. Quedan unas horas para conocer al ganador y para que unas cuantas personas de mi entorno (espero) se tomen las matemáticas un poco más en serio.


Sigue el ritmo

17 mayo, 2007

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Leo, vía “El País”, un artículo del periódico de México “El Universal” que dice:
noticia.jpg
Me llama la atención la frase: “A ese ritmo, en dos años estaríamos en mil ejecuciones al mes” y me pregunto: ¿A qué ritmo exactamente?
Imagino que, olvidándose del día del mes, hace la serie Septiembre, Julio, Mayo que, si la continuamos, nos daría Marzo, Enero. Es decir, en dos años se alcanzarían las mil muertes en Enero, como indica el autor.

Ahora bien, si no nos fijamos solamente en el mes, sino también en el día, ya que disponemos de los datos, tenemos que el 12 de Septiembre es el día 255 del año, el 1 de Julio es el día 182 y el 15 de Mayo, como se indica en el artículo, el 135.
Si representamos en una gráfica los días que se tarda en llegar a las mil muertes frente al año, tenemos lo siguiente:

El autor del artículo ha supuesto que esos datos se ajustan a una recta, y la ha continuado, obteniendo lo siguiente:

Dado que ninguna recta pasa por los tres puntos a la vez, cualquier recta aproximada que pase cerca de los tres puntos alcanzará el valor y=30 en un punto intermedio entre los dos dibujados (2008 y 2009, aproximadamente), con lo que se cumple lo dicho por el autor: en 2009 se alcanzarían los 1000 muertos en el mes de enero.Pero, disponiendo de tres puntos y viendo su representación, uno diría que los datos se ajustan mejor a una parábola o a una exponencial decreciente. Si buscamos la parábola (o función cuadrática) que pasa por los tres puntos, obtenemos la función:

F(x) = 13·(x – 2005)2 – 86·(x – 2005) + 255

donde x es el año y F(x) los días que tardan en alcanzarse los mil muertos. Podéis (deberíais) comprobar que se cumple para 2005, 2006 y 2007 (los datos disponibles) y que, si la continuamos, obtenemos la siguiente grafica:

Vemos que, “a ese ritmo”, nunca se alcanzarían los mil muertos antes de Abril y, además, la situación mejoraría a partir de 2008.

Por último, si ajustamos los 3 datos disponibles a una exponencial, obtenemos la función:

F(x) = 206·(1’55)2005-x + 49

Podéis (ejem) comprobar que esa función también cumple los datos conocidos y que, de continuarla, obtendríamos:

En este caso, nunca se alcanzaría el valor 30. De hecho, tiene una asíntota horizontal en y=49, es decir, “a ese ritmo” la situación se estabilizaría en alcanzar los mil muertos alrededor del 20 de Febrero (resultado igual de espeluznante que el predicho por el autor del artículo)

Por supuesto, los datos podrían igualmente ajustarse a funciones trigonométricas, polinómicas de mayor grado, etc. Matemáticamente, hay unas infinitas funciones que pasan por 3 puntos, con lo cual, hablar de “ritmo”, parece un poco precipitado. Es por ello que siempre se pide mucha más cautela al extrapolar datos (obtener puntos de fuera del intervalo conocido) que al interpolar (obtener puntos de dentro del intervalo conocido). Alguien les debería enseñar estas cosas a los periodistas…

Un problema parecido (el mismo, en realidad) es el que tienen los astrofísicos con la evolución futura del Universo que, para no hacer esto más largo, me apunto para una futura entrada.


El 12 de Mayo se adelanta al 11

8 mayo, 2007

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Tranquilos, no es otro cambio de calendario como el visto hace unos días. El título del post hace referencia al Día Escolar de las Matemáticas que, desde el año 2000 (Año de las Matemáticas) se celebra cada 12 de Mayo. Este año, como el día 12 es sábado, se trasladan las actividades al día 11, viernes.

El motivo de este año es “Matemáticas y Educación para la Paz” y esta es la portada del cuadernillo de actividades que, como cada año, edita la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM):

paz.jpg

La actividad principal de este año es una videoconferencia para los alumnos de ESO y Bachillerato y que podrá ser seguida a través de Internet, en la página:
http://ucinema.sim.ucm.es/video/directo/mate.htm.
Será el viernes 11, a las 12:00 horas y correrá a cargo de Federico Mayor Zaragoza y Abelardo Jiménez Fenet.

Además, se proponen actividades para desarrollar en los Institutos para, a través de las Matemáticas, tratar la coeducación y la interculturalidad. Una de estas actividades es un ejercicio de estadística, en el que los alumnos deben rellenar una tabla con el número de horas al mes que cada miembro de su familia dedica a las tareas domésticas. Después, en el análisis de esa estadística, se podrá ver cuánto hemos avanzado (y cuánto nos queda por recorrer) en materia de Igualdad. 

Una buena ocasión para empezar a “sacar” las matemáticas del aula y llevarlas a otros campos de nuestra vida cotidiana. En años anteriores se han tratado las relaciones entre las Matemáticas y el Arte (2006), el Quijote (2005), las frutas (2004), los mapas y la navegación (2003) y Alicia y Gulliver (2002).


Matemáticas Adivinas

4 mayo, 2007

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El otro día, en clase, surgió el tema de los horóscopos y por qué la “gente de ciencia” no creía en ellos. Yo, como perteneciente a ese grupo, tuve que dar mis motivos. El primero, reducido a los horóscopos de los periódicos, es fácil. Es cierto que aciertan en la mayoría de las ocasiones (por eso la gente sigue creyendo en ellos), pero también es cierto, y esto no se suele mirar, que también te aciertan los horóscopos que no son de tu signo. Haced la prueba, si sois Tauro, leed durante 15 días el horóscopo de Géminis, y ya me contaréis. Y es que, diciendo “En el trabajo vas a tener pequeños problemas, pero los solucionarás perfectamente”, ¿cómo no van a acertar?

Cojo el periódico que tengo más a mano, el ABC de la sala de profesores. Voy al horóscopo y elijo uno, Escorpio. Dice así: “Experimenta frío o calor, placer o dolor y… ambas sensaciones a la vez. La vida es tan ambigua como lo es usted. Alerta.” Otro, Leo (para Juanjo): “Hoy y mañana, inmejorable su estado anímico. Todo cuanto se oponga a su triunfo son avisos de que algo no funciona“. Sin comentarios.

Pero lo que traigo a este blog es un experimento matemático que nos puede convertir a todos en adivinos. Se trata de lo siguiente: Eliges el partido de liga más dudoso del próximo fin de semana. Te haces con 900 direcciones de e-mail y envías a cada uno de ellos un escrito de la siguiente forma: A 300 les dices que va a salir un 1, a otros 300 que será una X y a los 300 restantes, un 2.

Ya tienes 300 personas que han recibido un mail tuyo, en el que has acertado. Te quedas con ellas y, la siguiente semana, haces lo mismo, enviado a grupos de 100 personas, consiguiendo 100 personas con dos aciertos consecutivos. Tercera semana, grupos de 33 (y uno de 34, claro). Ya tienes 33 personas seguras a las que le has predicho el resultado del partido de liga más dudoso durante 3 semanas consecutivas. A la cuarta semana serán 11, con 4 aciertos consecutivos. Si la quinta semana, pidieras dinero por la quiniela completa, ¿cuántos de los 11 (que se supone que no te conocen y han recibido un mail tuyo acertando durante 4 semanas) pagarían por los resultados?

Tratándose de la quiniela, seguramente no muchos, porque haría falta creer en la adivinación, y posiblemente te ignoraran, a pesar de los aciertos. Ahora bien, nos vamos a temas más serios: La Bolsa. Si en vez de resultados de quinielas, envías mails diciendo que las acciones de una empresa van a subir (o a bajar), comenzando con 400 personas, la primera semana aciertas con 200. La segunda semana, de esos 200, te aseguras 100 aciertos. La tercera semana 50, la cuarta 25 y la quinta, 12.

Hay seguras 12 personas a las que les han llegado 5 mails consecutivos acertando que los valores de una empresa suben o bajan (Además, cada semana puedes cambiar de empresa). Si la(s) empresa(s) elegida(s) es una de las “dudosas” (que no se sepa a priori que vayan a subir o a bajar), como el mundo de la Bolsa no sucede al azar, esas 12 personas no van a pensar que seas adivino, sino que posees información que ellos no tienen. Teniendo en cuenta que es un mundo que mueve mucho dinero, ¿cuántos de los 12 te pagarían para que les dijeras la “previsión” de la sexta semana?

Pasemos esto al mundo de los adivinos (o videntes). Si la mitad de ellos dicen que el próximo hijo del famoso de turno será niño y la otra mitad dice que será niña, por lógica, la mitad de ellos van a acertar. De los que fallaron te olvidas, pero de los que aciertan, a la siguiente oportunidad van a hacerlo de nuevo: Unos dirán que niño, otros que niña. Si repetimos el proceso, tenemos a una banda de 15 o 20 “adivinos” que pondrán en su publicidad: “He acertado el sexo de los nacimientos de la Casa Real (por ejemplo) en 6 ocasiones. Llama al 806 xxx xxx y consulta tu futuro”. Q.E.D.

Me da cierta pena poner este video en el blog, pero es necesario:

¿Cómo es posible que esta señora siga teniendo llamadas? Por otra parte, si alguien llama a un adivino para interesarse por la salud de su padre de 90 años, ¿no es evidente que está “pachuchillo”? ¿Para qué sacar las cartas?

NOTA: Por si queréis intentar lo de la Bolsa, ya que enviar mails es gratis, quizá os interese saber que esa práctica está incluida en la categoría de “timos” y, por lo que yo sé, se considera delito por las leyes actuales. Mejor intentáis hacerle la competencia a la bruja Lola que, aunque también es un timo, sí es legal (aunque no es recomendable).