¿Para qué? Paralajes

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Hace nos días hablamos sobre ver las cosas desde cierta distancia para verlas con perspectiva. Hoy vuelvo sobre el tema con una pregunta: ¿cómo sabemos si vemos las cosas desde lejos o desde cerca? Una imagen vale más que mil palabras:

¿Cómo distinguimos un objeto pequeño visto de cerca de un objeto grande visto de lejos? Normalmente no tenemos problemas, porque siempre tenemos cerca otros objetos de referencia con los que comparar. Por ejemplo, en la imagen anterior, el coche rojo lo comparamos con la mano, mientras que el gris, que está en el suelo, lo comparamos con el árbol. Pero, ¿qué pasa si las referencias nos engañan? Mirad la foto de nuevo e imaginad que el árbol es una maqueta. Cambia todo, ¿verdad? O mirad esta otra imagen:

Las dos figuras tienen el mismo tamaño, aunque parezca lo contrario. Vamos a complicarlo un poco más: ¿qué ocurre cuando no tenemos objetos de referencia? Mirad este vídeo:

El problema que tiene Fry es el mismo al que se enfrentan los astrónomos para saber a qué distancia está una estrella, por ejemplo. Pensadlo un momento: ¿cómo se puede distinguir una estrella muy grande y muy brillante que está lejos, de una más pequeña y con menos brillo que esté cerca? Los únicos objetos de referencia que tenemos son las otras estrellas, con las que tenemos el mismo problema. Entonces, ¿cómo hemos llegado a saber a qué distancia están las estrellas?

La respuesta está en el título del post (la paralaje) y un poco de trigonometría. Es fácil de comprender: si guiñáis el ojo derecho y después el izquierdo, veréis que los objetos se ven en distintas posiciones, como si se movieran, de forma que los objetos que están más cerca se mueven más que los que están lejos. Midiendo la distancia entre los ojos y los ángulos con los que vemos el objeto desde cada ojo, podemos hallar la distancia del objeto a nuestra cara. De la misma forma, si hacemos una fotografía del cielo un 21 de Marzo (cuando la Tierra está en un extremo de su órbita) y otra el 21 de Septiembre (la Tierra está en el otro extremo), las estrellas aparecerán en distintas posiciones en ambas fotografías, de forma que las que estén más cerca se habrán movido más que las que estén lejos.

Esa es la idea, pero que no os engañen mis palabras: estos movimientos son realmente diminutos, hacen falta instrumentos muy precisos para detectarlos. Para que os hagáis una idea, una estrella que formara un ángulo de paralaje de 1 segundo (pensad en un ángulo de 1 grado. Pequeño, ¿verdad? Divididlo en sesenta partes y tendréis un minuto. Dividid ese minuto en 60 partes y «eso» es un segundo) estaría a una distancia de un Parsec. Pues bien, la estrella más cercana a nosotros (exceptuando al Sol) está a 1’3 Parsecs, es decir, el ángulo de paralaje es menor de un segundo (concretamente 0’76 segundos)

Ya veis lo que da de sí la «perspectiva». Casi tanto como la serie «Futurama», a la cual le voy a dedicar un post en breve, y del que os dejo como adelanto esta pequeña (y fácil) adivinanza:

Moscas y Física

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Me siento frente al ordenador a echar un vistazo al reader y leer los pocos mensajes que llegan en época de vacaciones a los blogs (síntoma de que lo estáis pasando bien). Una mosca no deja de dar vueltas a mi alrededor y me ha sido inevitable escribir este post:

En el chiste de J.M. Nieto es una polilla, pero seguro que estaba en la misma situación que yo cuando dibujó la viñeta.

Ya hablamos una vez de los sistemas de referencia de la mano de nuestro amigo Waterhouse, así que os remito a aquella entrada y no doy más la paliza. Era solo para desahogarme. Gracias por leerme.

Meme: Premios a blogs que hacen pensar

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Una vez más voy retrasado. Resulta que desde Iguales en las 3000, uno de los blogs de los que más he aprendido (y aprendo), han premiado a este blog mío como un «blog que les hace pensar». Más que por el premio, me alegro de hacerles pensar, ya que es uno de los objetivos del blog. El premio venía envuelto en algo llamado «Meme» que, si bien me sonaba, no tenía ni idea de lo que era. Esto demuestra que su blog me hace pensar y me enseña, ya que me he tenido que poner al día en este tema. Por lo visto los memes son algo así como los mail en cadena, pero en blog: Alguien te envía uno y te dice que lo envíes a cinco más, que a su vez lo deben enviar a cinco más, etc, etc. Aprovecho la magnífica oportunidad para señalar que, sin contar las posibles repeticiones de candidatos, esta cadena tiene forma de exponencial:

Una persona se lo envía a 5, que a su vez se lo envían a 5 cada uno. En el segundo paso, por tanto, lo reciben 25 personas (5²). Si cada uno de ellos lo envía a otras cinco, en el tercer paso lo reciben 125  (5³), etc. Es fácil concluir que en el paso n lo recibirán 5ⁿ personas. Esto, como digo, suponiendo que no haya repeticiones en los envíos (que una persona reciba el envío de dos o más personas) y que todos cumplan su misión.

Supongamos que no todos siguen la cadena. Pongamos por ejemplo que, de media, de cada cinco personas que reciben el meme solo lo envían 4. A efectos prácticos, es como si el meme consistiera en enviarlo a 4 personas en vez de 5, de modo que en el paso n lo habrán recibido 4ⁿ personas (en realidad 5·4^n-1, ya que los que no lo envían sí lo reciben, pero dejamos 4ⁿ para simplificar)

Supongamos ahora que, como es lógico, más de una persona se lo envíe a las mismas personas, es decir, que haya repeticiones en los envíos. Si a una persona le llega el meme por segunda vez, ya no debemos contarla. Vamos a suponer, igual que antes que, de media, de cada 4 personas que lo reciben 2 ya lo han recibido antes. Estos, además de no contarlos porque ya estaban, tampoco lo van a enviar, porque ya lo hicieron. De modo que nos quedan las otras dos, que son «nuevas».

A efectos prácticos y simplificando como antes, vamos a suponer que al final la cadena se reduce a una en la que una persona envía el meme a dos personas, que se lo envían a otras dos, etc. Es decir, una exponencial 2ⁿ. De las 5 personas a los que se envía el meme, nos han quedado solo dos «efectivas».

Pues bien, por lo visto el meme se inició el 11 Febrero, en este post. Siendo benévolos, supongamos ahora que los envíos tardan en hacerse una semana (algunos, como yo, lo harán el mismo día que les llega pero otros tardarán 15 días o un mes en hacer el envío). Esto significa que, desde el 11 de febrero hasta hoy, 14 de agosto, han pasado 24 semanas. O lo que es lo mismo, que estamos en el paso 24 de la cadena.

Nos vamos a la fórmula y, en el paso 24, reciben el meme-premio unos 16777216 blogs (2²⁴). Eso en el paso 24. Habría que sumar los que lo recibieron en el paso 23, en el 22, en el 21… En matemáticas, esto se llama la suma de los primeros 24 términos de la progresión geométrica 2ⁿ. Como no os quiero aburrir con fórmulas (bastante tenéis ya con las cuentas) y estás son fáciles de encontrar, os diré que esa suma da 33554430.

Aproximádamente.

Y ahora sí, con el orgullo que me proporciona ser uno de los aproximadamente 33554430 blogs del mundo que hacen pensar, voy con mis premiados:

Ciencia y Conocimiento: ¡Y vaya que me hace pensar! Sobre todo con los problemas de ingenio que propone.
Números y Alrededores: Fernando Domínguez también propone problemas en su blog, además de un montón de citas literarias sin desperdicio.
Eferfescente2H: Juanjo dice: «Lo escribí… pero le sigo dando vueltas». Nosotros también se las damos.
Microrelatos Urbanos: Ángel nos reta a contestar en dos líneas. Todo un desafío, no siempre lo consigo, pero lo pienso.
Re(paso) de Lengua: No sólo de matemáticas vive el hombre, y ya he perdido la cuenta de las ideas que me ha proporcionado Antonio desde su blog.

Evidentemente, hay muchos más que me hacen pensar, pero había que elegir a 5, por lo que debo pedirles disculpas a aquellos que me hacen pensar y no les he premiado: Lo siento… pero tranquilos, al final os premiarán.
Y, a los 5 premiados, les dejo las reglas del meme, para que lo continúen:

1.- Escribir un post citando (premiando) cinco blogs que te hacen pensar.
2.- Enlazar el post original para que se pueda encontrar el origen del premio.
3.- (Opcional) Mostrar el botón del premio enlazando el post que han escrito concediendo tu premio.

Que os sea leve.

Concurso NoSoloMates

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Ha dado comienzo la Edición 0 del Concurso NoSoloMates. Se trata de resolver problemas de ingenio, de lógica o de matématicas. Es posible que haya que hacer cuentas, pero no es lo más importante. Recordad que estáis en NOSOLOMATES. Para resolver los problemas es más necesario pensar y razonar que hacer cuentas.

Los problemas los propondrá la persona que resuelva correctamente el problema planteado en ese momento. De este modo, vosotros sois quienes resolvéis los problemas y también quienes los planteáis.

Se han establecido 3 niveles de dificultad, que aportarán diferentes puntuaciones a quien los resuelva. Resolver un problema Fácil supone ganar 1 punto; un problema Medio te reporta 3 puntos y un problema Difícil, 10 puntos.

Espero que os animéis a concursar. Podéis comenzar haciendo click en el enlace permanente que tenéis arriba, justo debajo del título del blog. Antes de responder, leed las reglas del juego y después, ¡a por todas!

El camino hasta aquí

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Hace poco tiempo, en Iguales en las 3000, nos deleitaban con un vídeo sobre mujeres en el arte y otro sobre mujeres en el cine. Inspirado por la idea (plagiandola, en realidad), me puse manos a la obra con un vídeo similar que hiciera un repaso a los matemáticos más importantes de la Historia. Dado que es una burda copia, se puede apreciar la baja calidad del mismo. Yo, practicando mis habilidades sociales, voy a echarle la culpa al software, que era gratuito. En cualquier caso, aquí tenéis el resultado, que espero que os guste:

Esta es la lista de los «elegidos»:
Thales de Mileto (640 A.C.-540 A.C. aprox.), Pitágoras (580 A.C.-500 A.C. aprox.), Euclídes (365 A.C.-300 A.C. aprox.), Arquímedes (287 A.C.- 212 A.C.), Hypatia de Alejandría (370-415), Al Khwarizmi (780-850), Fibonacci (1170-1250), Nicolás Copérnico (1473-1543), John Napier (1550-1617), Galileo Galilei (1564-1642), Johannes Kepler (1571-1630), René Descartes (1596-1650), Pierre Fermat (1601-1665), Isaac Barrow (1630-1677), Isaac Newton (1643-1727), Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716), Guillaume de L’Hôpital (1661-1704), Brook Taylor (1685-1731), Leonart Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Paolo Ruffini (1765-1822), Joseph Fourier (1768-1830), Sophie Germain (1776-1831), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Simeon Poisson (1781-1840), Bernard Bolzano (1781-1848), Augustín Louis Cauchy (1789-1857), Niels Henrik Abel (1802-1829), George Boole (1815-1864), Karl Weierstrass (1815-1897), Bernhard Riemann (1826-1866), Gaston Darboux (1842-1917), Sonia Kovalevsky (1850-1891), Henri Poincaré (1854-1912), David Hilbert (1862-1943), Albert Einstein (1879-1955), Emily Noether (1882-1935), Srivinasa Ramanujan (1887-1920), Werner Heisenberg (1901-1976), Alan Turing (1912-1954), Benoît Mandelbrot (1924-), John Forbes Nash (1928-)

Seguro que echáis en falta alguno más, pero ya se sabe: «Son todos los que están, pero no están todos los que son». Eso sí, como la idea surgió de Iguales, sí he incluído a las pocas matemáticas que pudieron imponerse a la época en que vivieron y hemos llegado a tener noticias suyas.