Dan Miedo

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Al hilo del post de Jovanotti y de cómo usamos las matemáticas para la mayoría de las cosas cotidianas sin darnos cuenta, he visto este titular en la portada de «La Opinión de Zamora«:

En las 4 líneas del titular hay 4 números, pero curiosamente todos están escritos con letra: «Octogenarios pasan fuera de casa siete horas para una sesión médica de diez minutos.» Parece que los periodistas tienen pánico a los números y los rehuyen. No es de extrañar entonces que se equivoquen tanto. Menos mal que no ponen debajo «Pág. dieciocho». Nos tendremos que conformar con eso.

¿Nos tendremos que conformar con eso?

El País, Nivel 0

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Ayer en “El País” pudimos ver esta gráfica:

(Pica en la imagen para verla en grande)

Se trata del porcentaje de alumnos con conocimientos avanzados en Matemáticas en cada país. Al margen de la complicación de dicha gráfica (situar a los de Nivel 5 en el eje x y a los de nivel 6 en el eje y para colocar el total en las diagonales), nos llama la atención el dato de España: 7 de nivel 5 y 1 de nivel 6, dan un total de ¡9! Lo he hecho de cabeza, con la calculadora, contando con los dedos… y siempre me sale 7+1=8. Decidme dónde cometo el error, que no lo encuentro.

Y, ya puestos, ayudadme también con los datos de “Luxemburgo, Hungría, Polonia y EEUU”, que me sale 9+2=11,en lugar de 10, y el de Eslovaquia, que me da 10+3=13, y no 15, como me informa el periódico. Lo único que tengo claro es que la gente que hizo el gráfico no es ni de nivel 5 ni de nivel 6.

De acuerdo, puede ser un error de cualquier tipo, todos somos humanos, bla, bla, bla. Pero, de verdad, me cuesta creer que uno se equivoque precisamente en el dato de España, que es en torno al cual gira la noticia y es el que la gente va a mirar (¿alguno de vosotros ha buscado Japón?) Además, el hecho de que a España le pongan uno de más (por error) y a EEUU uno de menos (por error) hace parecer que estamos casi a su nivel (9 a 10) cuando en realidad la diferencia es un poco mayor (8 a 11). ¿Tendrá esta proximidad algo que ver? (Aunque el dato de EEUU no está tan claro. Han situado el cuadro en el punto (8,2) y ponen 9+2. ¿Se han equivocado al escribir el 9 o al situar el punto?)

El Domingo pasado regalaron un reloj que en vez de números (del 1 al 12, como todos los relojes) tenía letras. ¿Era ese detalle una declaración de intenciones acerca del caso que le van a hacer a las Matemáticas en el “nuevo” periódico? Si era así, empiezan bien: errores en 3 sumas con sumandos menores de 15 y sin llevar… puede ser todo un record.

Recuerdo una profesora de la Facultad a la que teníamos que entregar un trabajo. Un compañero y yo estábamos algo preocupados porque no teníamos ordenador y no sabíamos si aceptaría trabajos hechos a mano. Cuando le preguntamos, nos respondió: “Lo que me interesa es el contenido, no el formato (siempre que no sea un desastre, claro). Además, ahora ya casi todo el mundo tiene ordenador y no se nota tanto, pero hace unos años, era matemático: los trabajos entregados a ordenador eran los peores. A mejor diseño, menos contenido”. Señores de “El País”, el gráfico es muy bonito, de verdad, han mejorado mucho su infografía…

Tanto que me servirá para usarlo en clase cuando veamos el tema de las coordenadas en el plano. Al margen de su pequeño problema con las sumas, es un buen ejemplo para ver como se representan los puntos en los ejes de coordenadas. Por ejemplo, Japón está en el punto (16, 8), es decir, 16 en el eje x y 8 en el eje y. Desde que los niños no juegan al “Hundir la Flota”, hay que empezar este tema desde cero y cualquier ayuda es buena. Gracias.

Potencias, raíces y periódicos

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Aunque este blog no es un diario de clase, he visto la pregunta que se hacen en «el Tinglado» y en particular la respuesta de Javier Escajedo, y he decidido escribir aquí la actividad de aula de hoy. Hemos terminado el tema de «Potencias y Raíces» y estamos haciendo ejercicios y problemas. Al llegar a clase me encuentro, como todos los días, un montón de ejemplares del ABC, así que decido que hoy vamos a hacer ejercicios y problemas de potencias y raíces, pero sacados del periódico. Hemos visto:

• En la página 9 (por cierto, 3²), un anuncio del Ministerio de Educación y Ciencia en el que el logotipo del Año de la Ciencia es una raíz cuadrada con radicando «Año de la Ciencia 2007». Hemos simplificado √2007 y resultó ser equivalente a 3·√223.

• En la página 16 (2⁴, o 4²), una noticia sobre Al Gore y su «Una verdad incómoda», del que hemos sacado un problema. «Si el Ministerio gasta 580000€ en la difusión del documental en los colegios, y ha comprado 30000 copias, ¿cuánto gasta en cada copia? Hacer los cálculos en notación científica». Nos salió (5’8·10⁵)/(3·10⁴)=1’933·10, es decir, 19’33€.

• En la página 66, El titular es «El Prado, elevado al cubo». En la noticia. vimos que la ampliación del Museo del Prado ocupa 22000m². Si la suponemos con forma cuadrada, el lado mide √22000, que simplificamos a 20·√55, aproximadamente 20·7’3, es decir 146m.

• En la siguiente página (67), el titular es «Cien por cien maestras», y vimos que cien por cien es 100², pero también 10⁴ o 2⁴·5⁴, repasando multiplicaciones de potencias y potencias de una potencia.

• En la página 70, viene un reportaje sobre la Estación Espacial. El transbordador Discovery salió ayer a 6000 Km/h hacia ella. Tocó el timbre, pero quedó pendiente investigar a que distancia está la Tierra y, en notación científica, debido a las grandes cantidades, calcular el tiempo que tardaría en llegar si la trayectoria fuese recta.

Ha sido una clase agradable, y hemos dado uso a toda esa cantidad de papel que cada día llega al Instituto en forma de periódicos.

¡Rayos! ¡Esto no sale!

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Recupero hoy un artículo que ya publiqué en NoSoloMates para aprovecharme de la mayor hinteractividad del blog. Se trata de una noticia aparecida en ABC el día 18 de Agosto de 2005, que podéis leer on-line aquí, o «en papel» aquí abajo:

Nos llaman la atención varias cosas, que he subrayado.

1) «De los 1600 rayos, 1200 fueron negativos y 473 positivos». Cualquiera diría que la suma no da, ¿verdad? ¿Significa eso que el redactor de la noticia no sabe sumar? Es posible, pero parece que lo que no sabe es aproximar. Si se elige un grado de precisión de centenas para el total de rayos (no fueron 1600 rayos exactos, sino aproximado) y para los negativos, no tiene sentido dar el número de rayos positivos con precisión de unidades. Se debe utilizar siempre el mismo grado de precisión, sean unidades, decenas, centenas o millares, y convendría añadir «aproximadamente».

2) En el segundo párrafo seleccionado, leemos: «…cuatro cuadrillas… una cuadrilla gallega… tres cuadrillas…». Esto refuerza nuestras dudas sobre la capacidad sumatoria de Montse Serrador, pero no vamos a ser malos y aprovecharemos esto para un pequeño problema: ¿Cuántas cuadrillas participaron (incluyendo las gallegas)?

3) Si la media anual es 435 l/m² y ese año habían caído 214 l/m², podéis hacer las cuentas, pero no sale el 52%, entre otras cosas porque el 52% es más de la mitad, y 214 es menos de la mitad de 435. También lo dejo como problema para los comentarios: ¿qué tanto por ciento de 435 es 214?

Pero lo que me interesa de verdad son otro tipo de preguntas con menos ironía. Ya sabéis que uno de los objetivos de este blog es descubrir (y combatir) el anumerismo, y por eso he rescatado esta noticia. De entre todas las personas que leyeran la noticia, ¿cuántas creéis que se dieron cuenta de estos errores? En particular, del primero (1200+473=1600), que es en el que interviene la operación más básica y todo el mundo debería conocer. Y ahora, ¿cuántos de los que estáis leyendo esto os habéis dado cuenta de que escribí «interactividad» con h? ¿Por qué los errores gramaticales te hacen parecer un inculto y los errores matemáticos, por muy básicos que sean, no?

 PD: Ya comenzó la Edición 1 del Concurso. Todos tenéis 0 puntos, así que todos podéis ganar. ¡Ánimo!

Moscas y Física

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Me siento frente al ordenador a echar un vistazo al reader y leer los pocos mensajes que llegan en época de vacaciones a los blogs (síntoma de que lo estáis pasando bien). Una mosca no deja de dar vueltas a mi alrededor y me ha sido inevitable escribir este post:

En el chiste de J.M. Nieto es una polilla, pero seguro que estaba en la misma situación que yo cuando dibujó la viñeta.

Ya hablamos una vez de los sistemas de referencia de la mano de nuestro amigo Waterhouse, así que os remito a aquella entrada y no doy más la paliza. Era solo para desahogarme. Gracias por leerme.

Unión y/o Intersección

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Llego un poco tarde con las noticias del día, pero viendo los titulares, es mejor así. Aquí tenemos las portadas de los 4 periodicos nacionales:

Es increíble que todos se hayan puesto de acuerdo en el titular, lo normal es que vivan en mundos distintos, pero hoy en todos pone (en mayor o menor tamaño):

«Rajoy exige a Zapatero las actas o que convoque elecciones»

pero… ¿todos? ¡NO! ¡Todos no! En La Razón han cambiado la conjunción disyuntiva «o» por la copulativa «y». Casi nada. 

Esta lección de gramatica también se estudia en Matemáticas. Yo lo hice con los conjuntos, pero ahora se enseña con los intervalos y en la probabilidad. Se trata de las famosas «Unión» e «Intersección», representadas por U y por ∩ respectivamente, y veo que los de La Razón se lían igual que mis alumnos.

AUB indica la Unión de los conjuntos A y B, es decir, que cogemos todos los elementos que pertenezcan a cualquiera de los dos conjuntos (o a los dos). Es la representación matemática de la «o» gramatical. Por ejemplo, si hablamos de las personas menores de 20 años o mayores de 80, estamos hablando de las de 12, 96, 2, 81… Tanto las menores de 20 como las mayores de 80 nos valen.

A∩B, por el contrario, se refiere a la Intersección de los conjuntos A y B, es decir, cogemos los elementos que pertenezcan a los dos conjuntos a la vez. Es la representación de la «y» gramatical. En el ejemplo anterior no nos valdría ningún caso, porque no hay ninguna persona que tenga menos de 20 años y, a la vez, más de 80. (Si hablamos de los menores de 70 y de los mayores de 40, la intersección serían las personas de edades comprendidas entre 40 y 70, ya que cumplen las dos condiciones a la vez mientras que la unión sería todo el mundo, ya que todos somos mayores de 40 o menores de 70).

Volviendo a los titulares, llamando A = «mostrar las actas» y B= «convocar elecciones», La Razón titula «Rajoy exige a Zapatero A∩B» (las dos cosas a la vez) mientras El Mundo, El País y ABC titulan: «Rajoy exige a Zapatero AUB» (alguna de las dos).

Bah, por una letra….

Una de dos: o sí o no

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Un título un poco críptico para este post. No es en absoluto casualidad, como podréis comprobar en los próximos días. El título se refiere a las posibilidades que tengo de acertar los 6 números de la primitiva, que son del 50%: o me toca o no me toca.  A raíz de un comentario de Juanjo, hace ya algún tiempo que prometí hablar de esta falacia (gran chiste para los matemáticos) y me la he encontrado esta mañana en la portada del Sport.

Aunque no han sido tan brutos como para decir que las probabilidades de que el Barcelona gane la liga son del 50% (o la gana o la pierde), han incurrido en la misma falacia. Veamos: El error al decir que me puede tocar la primitiva o no al 50% está en suponer que los dos casos son equiprobables, cuando en realidad solo hay una forma de que me toque (salen mis 6 números), pero hay algo así como 13.983.815 formas de que no me toque (sale cualquier otra combinación).

Simplifiquemos para verlo más claro: Si decimos que la probabilidad de que al tirar un dado salga un 1 es del 50%, estamos olvidando que solo hay una forma de acertar (sale un 1), pero hay 5 formas de no acertar (sale 2, 3, 4, 5 o 6), por lo que los sucesos «salir 1» y «no salir 1» no son equiprobables.

Volvemos al Sport. Según ellos, las probabilidades de que gane el Barcelona son del 33%, las del Real Madrid del 59% y las del Sevilla, del 7% (no os preocupe que entre los tres sólo sumen el 99%: no hay ningún otro equipo que pueda ganarla, es solo que se han comido los decimales). ¿De dónde obtienen estos resultados? Fácil: haciendo una tabla  con «todos» los casos posibles, a saberse: que gane el Madrid, gane el Barcelona y gane el Sevilla; que ganen el Madrid y el Barcelona y empate el Sevilla, etc… Imagino que habéis pillado la idea. Se obtiene la siguiente tabla, cortesía del diario As (que, por cierto, cae en el mismo error, pero se cuida mucho de no hablar de probabilidades, así que es correcto):

Hay 27 casos posibles, de los cuales el Real Madrid ganaría en 16, el Barcelona en 9 y el Sevilla en 2. De ahí las posibilidades de las que habla el Sport. Ahora bien, eso sería correcto en el caso de que esas 27 opciones fueran equiprobables, de modo que la pregunta es: ¿Es igual de probable el caso 1-2-1 (ganan los tres candidatos) que el X-X-X (empatan los tres)? Y no lo digo porque suponga que el Madrid, el Barcelona o el Sevilla son mejores que sus rivales y sea más probable que ganen a que empaten, me limito a las matemáticas. El fútbol consiste en meter una esfera (o balón) por un hueco rectangular (portería). Para ello contamos con 11 personas. Este hecho sería fácil (para ellos) y aburrido (para los espectadores) si no fuese por que tenemos a otras 11 personas que tratan de impedirlo (el otro equipo). Esas otras 11 personas son las que convierten un sencillo problema de geometría en una difícil hazaña: Meter un gol no es fácil (o no debe serlo, según deducimos por su escasez, pocas veces se pasa de 10 en hora y media). Entonces, ¿es igual de probable un empate que un 1 o un 2?

Analicemos el número de goles:
– Si en el partido no hay goles, los sucesos 1-X-2 no son igual de probables, de hecho es casi seguro que acabe en empate.
– Si en el partido hay 1 gol, el resultado puede ser 1-0 o 0-1, es decir, un 1 o un 2, pero es imposible una X.
– Con 2 goles, tenemos como posibilidades 2-0 (un 1), 1-1 (una X) o 0-2 (un 2). En este caso sí son igual de probables.
– Con 3 goles, puede ocurrir 3-0 (1), 2-1 (1), 1-2 (2) o 0-3 (2). De nuevo no hay posibilidad de empate.
– Con 4 goles, tenemos 4-0 y 3-1 para un 1, 2-2 para una X y 1-3 y 0-4 para un 2.

Si continuamos, vemos que el empate solo puede ocurrir cuando el número de goles es par y, en esos casos, es menos probable que el 1 o el 2, porque solo se puede empatar de una forma, pero se puede ganar (o perder) de varias.

Por lo tanto, la combinación X-X-X no es igual de probable que la 1-1-1, por ejemplo. Repito que esto es sólo matemáticamente, sin tener en cuenta que unos equipos sean mejores que otros y que, en consecuencia, sea más probable que ganen a que pierdan. Si tenemos en cuenta eso, el análisis matemático de probabilidades se hace imposible. De modo que, aunque hoy «puede ocurrir cualquier cosa», no es fácil hablar de porcentajes ni de probabilidades numéricas. Que gane el mejor, o el menos malo.

PD: por si alguién quiere conocer mi opinión, os diré que no me gusta el fútbol, pero este año me he interesado por los resultados porque, cuando quedaban 14 partidos, haciendo un análisis matemático de la situación (que incluía factores psicológicos), un par de rectas y unas gráficas, y asumiendo un error de Tipo I, dije (aseguré) que iba a ganar la liga el Real Madrid. Podéis imaginar las risas y las burlas en aquel entonces (sin problema, porque solo se lo decía a gente conocida). Con el tiempo, pasaron a decir «puede ser» y hoy me decían que «puede ser que no». Ellos saben perfectamente que ni me gusta ni entiendo de fútbol, y siempre les he dicho que mi pronostico era matemático, no futbolístico. Quedan unas horas para conocer al ganador y para que unas cuantas personas de mi entorno (espero) se tomen las matemáticas un poco más en serio.

Sigue el ritmo

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Leo, vía “El País”, un artículo del periódico de México “El Universal” que dice:

Me llama la atención la frase: “A ese ritmo, en dos años estaríamos en mil ejecuciones al mes” y me pregunto: ¿A qué ritmo exactamente?
Imagino que, olvidándose del día del mes, hace la serie Septiembre, Julio, Mayo que, si la continuamos, nos daría Marzo, Enero. Es decir, en dos años se alcanzarían las mil muertes en Enero, como indica el autor.

Ahora bien, si no nos fijamos solamente en el mes, sino también en el día, ya que disponemos de los datos, tenemos que el 12 de Septiembre es el día 255 del año, el 1 de Julio es el día 182 y el 15 de Mayo, como se indica en el artículo, el 135.
Si representamos en una gráfica los días que se tarda en llegar a las mil muertes frente al año, tenemos lo siguiente:

El autor del artículo ha supuesto que esos datos se ajustan a una recta, y la ha continuado, obteniendo lo siguiente:

Dado que ninguna recta pasa por los tres puntos a la vez, cualquier recta aproximada que pase cerca de los tres puntos alcanzará el valor y=30 en un punto intermedio entre los dos dibujados (2008 y 2009, aproximadamente), con lo que se cumple lo dicho por el autor: en 2009 se alcanzarían los 1000 muertos en el mes de enero.Pero, disponiendo de tres puntos y viendo su representación, uno diría que los datos se ajustan mejor a una parábola o a una exponencial decreciente. Si buscamos la parábola (o función cuadrática) que pasa por los tres puntos, obtenemos la función:

F(x) = 13·(x – 2005)² – 86·(x – 2005) + 255

donde x es el año y F(x) los días que tardan en alcanzarse los mil muertos. Podéis (deberíais) comprobar que se cumple para 2005, 2006 y 2007 (los datos disponibles) y que, si la continuamos, obtenemos la siguiente grafica:

Vemos que, “a ese ritmo”, nunca se alcanzarían los mil muertos antes de Abril y, además, la situación mejoraría a partir de 2008.

Por último, si ajustamos los 3 datos disponibles a una exponencial, obtenemos la función:

F(x) = 206·(1’55)^2005-x + 49

Podéis (ejem) comprobar que esa función también cumple los datos conocidos y que, de continuarla, obtendríamos:

En este caso, nunca se alcanzaría el valor 30. De hecho, tiene una asíntota horizontal en y=49, es decir, “a ese ritmo” la situación se estabilizaría en alcanzar los mil muertos alrededor del 20 de Febrero (resultado igual de espeluznante que el predicho por el autor del artículo)

Por supuesto, los datos podrían igualmente ajustarse a funciones trigonométricas, polinómicas de mayor grado, etc. Matemáticamente, hay unas infinitas funciones que pasan por 3 puntos, con lo cual, hablar de “ritmo”, parece un poco precipitado. Es por ello que siempre se pide mucha más cautela al extrapolar datos (obtener puntos de fuera del intervalo conocido) que al interpolar (obtener puntos de dentro del intervalo conocido). Alguien les debería enseñar estas cosas a los periodistas…

Un problema parecido (el mismo, en realidad) es el que tienen los astrofísicos con la evolución futura del Universo que, para no hacer esto más largo, me apunto para una futura entrada.

Matemáticas Adivinas

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El otro día, en clase, surgió el tema de los horóscopos y por qué la «gente de ciencia» no creía en ellos. Yo, como perteneciente a ese grupo, tuve que dar mis motivos. El primero, reducido a los horóscopos de los periódicos, es fácil. Es cierto que aciertan en la mayoría de las ocasiones (por eso la gente sigue creyendo en ellos), pero también es cierto, y esto no se suele mirar, que también te aciertan los horóscopos que no son de tu signo. Haced la prueba, si sois Tauro, leed durante 15 días el horóscopo de Géminis, y ya me contaréis. Y es que, diciendo «En el trabajo vas a tener pequeños problemas, pero los solucionarás perfectamente», ¿cómo no van a acertar?

Cojo el periódico que tengo más a mano, el ABC de la sala de profesores. Voy al horóscopo y elijo uno, Escorpio. Dice así: «Experimenta frío o calor, placer o dolor y… ambas sensaciones a la vez. La vida es tan ambigua como lo es usted. Alerta.» Otro, Leo (para Juanjo): «Hoy y mañana, inmejorable su estado anímico. Todo cuanto se oponga a su triunfo son avisos de que algo no funciona«. Sin comentarios.

Pero lo que traigo a este blog es un experimento matemático que nos puede convertir a todos en adivinos. Se trata de lo siguiente: Eliges el partido de liga más dudoso del próximo fin de semana. Te haces con 900 direcciones de e-mail y envías a cada uno de ellos un escrito de la siguiente forma: A 300 les dices que va a salir un 1, a otros 300 que será una X y a los 300 restantes, un 2.

Ya tienes 300 personas que han recibido un mail tuyo, en el que has acertado. Te quedas con ellas y, la siguiente semana, haces lo mismo, enviado a grupos de 100 personas, consiguiendo 100 personas con dos aciertos consecutivos. Tercera semana, grupos de 33 (y uno de 34, claro). Ya tienes 33 personas seguras a las que le has predicho el resultado del partido de liga más dudoso durante 3 semanas consecutivas. A la cuarta semana serán 11, con 4 aciertos consecutivos. Si la quinta semana, pidieras dinero por la quiniela completa, ¿cuántos de los 11 (que se supone que no te conocen y han recibido un mail tuyo acertando durante 4 semanas) pagarían por los resultados?

Tratándose de la quiniela, seguramente no muchos, porque haría falta creer en la adivinación, y posiblemente te ignoraran, a pesar de los aciertos. Ahora bien, nos vamos a temas más serios: La Bolsa. Si en vez de resultados de quinielas, envías mails diciendo que las acciones de una empresa van a subir (o a bajar), comenzando con 400 personas, la primera semana aciertas con 200. La segunda semana, de esos 200, te aseguras 100 aciertos. La tercera semana 50, la cuarta 25 y la quinta, 12.

Hay seguras 12 personas a las que les han llegado 5 mails consecutivos acertando que los valores de una empresa suben o bajan (Además, cada semana puedes cambiar de empresa). Si la(s) empresa(s) elegida(s) es una de las «dudosas» (que no se sepa a priori que vayan a subir o a bajar), como el mundo de la Bolsa no sucede al azar, esas 12 personas no van a pensar que seas adivino, sino que posees información que ellos no tienen. Teniendo en cuenta que es un mundo que mueve mucho dinero, ¿cuántos de los 12 te pagarían para que les dijeras la «previsión» de la sexta semana?

Pasemos esto al mundo de los adivinos (o videntes). Si la mitad de ellos dicen que el próximo hijo del famoso de turno será niño y la otra mitad dice que será niña, por lógica, la mitad de ellos van a acertar. De los que fallaron te olvidas, pero de los que aciertan, a la siguiente oportunidad van a hacerlo de nuevo: Unos dirán que niño, otros que niña. Si repetimos el proceso, tenemos a una banda de 15 o 20 «adivinos» que pondrán en su publicidad: «He acertado el sexo de los nacimientos de la Casa Real (por ejemplo) en 6 ocasiones. Llama al 806 xxx xxx y consulta tu futuro». Q.E.D.

Me da cierta pena poner este video en el blog, pero es necesario:

¿Cómo es posible que esta señora siga teniendo llamadas? Por otra parte, si alguien llama a un adivino para interesarse por la salud de su padre de 90 años, ¿no es evidente que está «pachuchillo»? ¿Para qué sacar las cartas?

NOTA: Por si queréis intentar lo de la Bolsa, ya que enviar mails es gratis, quizá os interese saber que esa práctica está incluida en la categoría de «timos» y, por lo que yo sé, se considera delito por las leyes actuales. Mejor intentáis hacerle la competencia a la bruja Lola que, aunque también es un timo, sí es legal (aunque no es recomendable).

El más votado

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El fin de semana pasado, en Francia, tuvieron la primera vuelta de las elecciones presidenciales. Por este motivo, adapto al blog esta entrada sobre sistemas de votación que ya escribí con ocasión de Madrid 2012 y sus Olimpiadas. Veremos cómo el sistema de votación es muy importante para obtener un ganador, hasta el punto de que, en ocasiones, cualquier candidato puede ganar dependiendo de la forma de votar elegida.

Vamos a suponer 5 candidatos (Por orden alfabético, Ana, Beatriz, Carlos, Daniel y Elena) y 15 votantes, cuyos órdenes de preferencia son los siguientes:

7 prefieren:	Ana	Elena	Beatriz	Carlos	Daniel
3 prefieren:	Beatriz	Elena	Daniel	Ana	Carlos
2 prefieren:	Carlos	Elena	Daniel	Beatriz	Ana
2 prefieren:	Daniel	Beatriz	Carlos	Ana	Elena
1 prefiere:	Elena	Daniel	Beatriz	Ana	Carlos

Según el sistema utilizado en España, no tendríamos dudas de que la ganadora sería ANA, con 7 votos, seguido de Beatriz con 3, Carlos y Daniel con 2 votos cada uno y, en último lugar, Elena con 1 voto, ya que cada votante solo puede elegir un candidato y votarán a su preferido.

Ahora bien, el sistema de votación utilizado para elegir sede de las Olimpiadas consiste en lo siguiente: Para salir un ganador tiene que tener mayoría absoluta (la mitad más uno) y, en caso de que no ocurra, se elimina el candidato menos votado y se repite la votación. De nuevo, si alguno obtiene mayoría absoluta, es el ganador y si no, se elimina el menos votado, etc. Este proceso tiene un fin, ya que, en el peor de los casos, se irían eliminando candidatos hasta que quedaran dos, y en esta votación el ganador lo hará por mayoría (Suponiendo, claro está, que el número de votantes sea impar. En caso contrario podría haber empate).
Con este sistema y las preferencias anteriores obtendríamos, en la primera votación:

Ana	7 votos
Beatriz	3 votos
Carlos	2 votos
Daniel	2 votos
Elena	1 voto

No hay ganador, ya que se necesitan 8 votos, de modo que se elimina el que menos votos tiene (Elena) y se repite la votación. Con el orden de preferencia de los votantes, es fácil ver que en la segunda ronda los resultados serán:

Ana	7 votos
Beatriz	3 votos
Daniel	3 votos
Carlos	2 votos

(ya que el tipo que votó a Elena prefería en segundo lugar a Daniel). De nuevo no hay ganador y se elimina un candidato, en este caso Carlos. Volvemos a votar y obtenemos:

Ana	7 votos
Daniel	5 votos
Beatriz	3 votos

(ya que los dos que votaban a Carlos también tenían a Daniel como segunda opción, porque Elena ya estaba eliminada) Seguimos sin ganador, pero eliminamos a Beatriz, de modo que quedan Ana y Daniel. En la última votación, como podéis comprobar, gana DANIEL por 8 a 7, obteniendo los 8 votos necesarios y proclamándose vencedor a todos los efectos, a pesar de que solo dos miembros apostaban por él y había 7 que lo consideraban el peor de los 5.

El sistema de votación para las presidenciales de Francia del fin de semana sigue otro método: Se hacen dos vueltas. La primera es eliminatoria, en la que solo quedan los dos candidatos más votados y en la segunda, se elige uno de esos dos. Volvemos a nuestra tabla de preferencias y vemos que en la primera vuelta quedan Ana y Beatriz. En la segunda vuelta, votando solo entre ellas dos, los resultados son:

Beatriz	8 votos
Ana	7 votos

Ahora ha ganado BEATRIZ, ya que 8 personas la prefieren antes que a Ana. Y, por último, voy a incluir el sistema de votación de Eurovisión, en el que cada votante da puntos a sus preferidos. En este caso, cada votante daría 5 puntos a su preferido, 4 al segundo, 3 al siguiente, 2 después y 1 punto al que crean el peor de los cinco. Si hacéis las cuentas saldrían los siguientes resultados:

Ana	49 puntos
Beatriz	51 puntos
Carlos	34 puntos
Daniel	36 puntos
Elena	55 puntos

Vemos que entonces ganaría ELENA quedando Beatriz segunda, Ana tercera y Daniel en cuarto lugar. Ya solo falta encontrar un sistema de votación por el que ganara Carlos, que seguro que lo hay, con lo que tendríamos que cualquiera de los cinco puede ganar dependiendo del sistema de votación utilizado. Curioso, ¿verdad?